INDUÇÃO MATEMÁTICA
  1. DEFINIÇÃO:
Seja S um conjunto de inteiros positivos, tais que :
    1. 1 Î S;
    2. (n+1) Î S, sempre que n Î S..
      3. Então S é o conjunto de todos os inteiros positivos.
    3. EXEMPLOS:
    1. Prove por indução matemática que Q(n), se a Î R (reais) e a>-1, então (1+a)n ³ 1+na ; n Î N , n³ 1.
      2. Solução:
      Q(1)=(1+a)1³ 1+a Û (1+a)³ 1+a (V)
      Q(n) Þ Q(n+1)
      "(1+a)n³ 1+na" Þ "(1+a)(1+a)n³ (1+a)(1+na)
      (1+a)n+1³ 1+na+a+na2
      (1+a)n+1³ 1+(n+1)a obs.: na2³ 0 ( podemos desprezar)
       
    2. Prove por indução matemática que 2n£ 2n, para nÎ N , n³ 1.
      3. Solução:
      S(n): 2n£ 2n n Î N , n³ 1
      S(1): 2* 1£ 21 Þ 2£ 2 (V)
      S(n) Þ S(n+1)
      2n£ 2n Þ 2(n+1)£ 2n+1
      2(n+1)£ 2n+2
      2(n+1)£ 2n+2n
      2(n+1)£ 2* 2n
      2(n+1)£ 2(n+1) (V)
       
    3. 1+2+3+4+...+n= [n(n+1)/2
Solução:
1Î S, pois 1=[1(1+1)]/2 (V)
Suponha que 1,2,3,4,n Î S
1+2+3+4+...+n + (n+1) = [(n+1) (n+2)]/2
= [n(n+1)/2 + (n+1) =
= [n(n+1)+2(n+1)]/2
= [(n+2)(n+1)]/2 (V)
 
 
  1. EXERCÍCIOS:
Mostrar por indução que :
    1. n!>2n , " n³ 4.
    2. n2>2n+1 ," n³ 3.
    3. 9 divide todo número da forma: 10n+1-9n-10