DIVISIBILIDADE:
    1. DEFINIÇÃO:
      2. a,b Î Z; b # 0
      b divide a, se existe c Î Z, tal que a = b*c
      Exemplo :
      divide 70, pois 70 = 5 * 14
    2. PROPRIEDADES :
a, b, c Î Z , b ¹ 0
        1. b divide b
        2. Se b/a e b/c então b/am+cn, " m,n Î Z .
          3. Justificativa :
          Observe que a = b . q1 ; q1 Î Z
          c = b . q2; q2 Î Z
          a = b . q1 (m) am = b . q1 . m
          c = b . q2 (n) cn = b . q2 . n
          ________________________
          am + cn = b ( q1 m + q2n)
          K=( q1 m + q2n) Î Z , assim
          am + cn = b . K è K Î Z
          b/am + cn
        3. Se a ,b Î Z e b/a, então |b| £ |a|.
Justificativa :
|a|= |b| . |c| ³ |b| . 1
|a| ³ |b|
      1. Teorema:: Quaisquer que sejam os inteiros a, b e c, tem-se :
        1. a|0; 1|a e a|a;
        2. Se a|1, então a = ± 1;
        3. Se a|b e se c|d, então ac|bd;
        4. Se a|b e se b|c, então a|c;
        5. Se a|b e se b|a, então a =± b:
        6. Se a|b e se b|a, então |a| £ |b|;
        7. Se a|b e se a|c, então a|(bx+cy), " x,y Î Z .
Demonstração:
        1. Com efeito:
          2. 0= a . 0, a = 1 . a, a= a . 1
        2. Com efeito:
          3. Se a|1, então 1= aq, com q Î Z .O que implica a=1 e q=1 ou a=-1 e q=-1, isto é a=± 1
        3. Com efeito:
          4. a|b è b = aq, com q Î Z
          c|d è d = cq1, com q1 Î Z .
          Portanto:
          bd = (ac) (qq1) è ac| bd.
        4. Com efeito:
          5. a|b è b = aq, com q Î Z
          b|c è c = bq1, com q1 Î Z .
          Portanto:
          c = a (qq1) è a|c.
        5. Com efeito:
          6. a|b è b = aq, com q Î Z
          b|a è a = bq1, com q1 Î Z .
          Portanto:
          a = a (qq1) è qq1 = 1 è q1|1
          è q1 = ± 1 è a = ± b
        6. Com efeito:
          7. a|b, b ¹ 0 è b = aq, q ¹ 0 |b| = |a| |q|
          como q ¹ 0, segue-se que |q| ³ 1 e, portanto :
          |b| ³ |a|
        7. Com efeito:
a|b è b = aq, com q Î Z
a|c è c = aq1, com q1 Î Z
Portanto, quaisquer que sejam os inteiros x e y :
bx+cy = aqx + aq1y = a(qx + q1y) è a| (bx + cy)
Esta propriedade (7) admite uma óbvia generalização; isto é, se
a|bk , para k = 1, 2, 3, ..., n, então, quaisquer que sejam os inteiros
x1, x2, x3... xn:
a| (b1x1+b2x2+ ...+bnxn)
Consoante as propriedades (1) e (4), a relação de divisibilidade Z é reflexiva e transitiva, mas NÃO é simétrica.
Por exemplo : 3|6 e 6|\ 3 ( leia 6 não divide 3).